Probabilidad y Estadistica

Ejercicios:

1.- En un estudio de ejercicios aeróbicos las personas son asignadas de manera aleatoria a 5 grupos  diferentes de ejercicios escribe una lista de los sucesos elementales de:

a) Espacio muestral

                Ω = {1, 2, 3, 4, 5}

b) Cada evento:

           A= se asignan al grupo 3              P(A)= 1/5

           B= asignado a uno de los 3 primeros grupos    P (B)= 3/5

           C= asignado al 4° o 5°                    P(C)= 2/5

           D= asignado del 2°  al 5°               P (D)=4/5

c) Asignar la probabilidad a cada uno de los sucesos elementales del espacio muestral y calcula la probabilidad del evento.

2.- Se lanza un dado de 6 caras:

             a) describe el espacio muestral.

                              Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

             b)¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 3?

                              P(n>3)=1/2

3.- Un grupo de personas está compuesto por 2 niños menores de 12 años, 3 adolecentes y 5 adultos. Se selecciona a una persona al azar.

                a) ¿Cuál  es la probabilidad de que sea adulto?

                               P(adulto)= 1/2

                b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor de 12 años?

                               P(persona>12)= 4/5

Series de Fourier

   

Jean Baptiste Joseph Fourier     

  

La chaleur penetre, comme la gravite, toutes les substances del ‘univers, ses rayons occupent toutes les parties de l’espace. Le but de notre ouvrage est d’exposer les lois mathematiques que suit cet element. Cette theorie formera desormais une des branches importantes de la physique generale.     Que significa:     

El calor penetra, como la gravedad, todas las sustancias del universo, sus rayos ocupan todas las partes del espacio. El objetivo de nuestro trabajo es presentar las leyes matemáticas que sigue a este elemento. Esta teoría constituye ahora una rama importante de la física en general.       

Hechos historicos     

A mediados del siglo XVIII, Bernouilli llega al punto de plantearse la solución del problema de la cuerda vibrante en forma de serie trigonométrica a partir de consideraciones de tipo físico, que le llevan a pensar que la cuerda oscila involucrando varias frecuencias al mismo tiempo, cuyas amplitudes respectivas dependen de la forma inicial de la vibración, es decir, del modo en que se haya empezado a mover la cuerda. Esta posibilidad, descubierta por Bernouilli, es lo que hoy llamamos principio de superposición y ha resultado ser un principio de gran importancia en muchas ramas de la Física matemática.     

Sin embargo, Euler entiende que esta idea de Bernouilli lleva a un resultado aparentemente paradójico, de acuerdo con algunos conceptos matemáticos de su tiempo. A saber, el hecho de que una función “arbitraria” pueda ser expresada en forma de serie trigonométrica. Hay que tener en cuenta, que para los matemáticos contemporáneos de Euler, las curvas se dividían en dos clases: curvas “continuas 2 curvas “geométricas”. En contraste con la terminóloga adoptada hoy en día, una curva se decía “continua” si sus ordenadas y sus abscisas podían conectarse mediante alguna fórmula     

 y= f(x).      

Por otra parte una curva se denominaba “geométrica” si podía dibujarse de alguna forma con trazos continuos o discontinuos. Pensaban por tanto, que la segunda categoría de curvas era más amplia que la primera, ya que lo que nosotros denominamos como una función continua a trozos, puede dibujarse, pero no puede expresarse si no es con varias fórmulas. Así, si una función “arbitraria” podía expresarse, por ejemplo, como una serie de senos, pero con ak = 0 para k = 0, 1, 2,…, esto significaría que cualquier curva “geométrica” seria también una curva “continua”, lo cual, para Euler y sus contemporáneos, era simplemente increíble.    Por otra parte, para contribuir más aún a este debate, la solución al problema de la cuerda vibrante de Bernouilli compite con otra aportada por J.R. d’Alembert (1717-1783) en forma de una onda que avanza y otra que retrocede, que se determinan a partir de la posición y velocidad iniciales de la cuerda. En particular, d’Alembert consideraba que la manera más natural de hacer que una cuerda empezase a vibrar era desplazarla de su posición de equilibrio tirando de algún punto de ella. Esto hace que su posición inicial se pueda representar mediante dos rectas que forman un determinado ángulo. Para d’Alembert la naturaleza de esta curva hacía imposible pensar en que pudiese expresarse como una serie trigonométrica, ya que se trata, como se ha comentado más arriba, de una curva “geométrica”, mientras que la serie trigonométrica seria una curva “continua”.     

 El problema de si una función cualquiera puede representarse mediante una serie trigonométrica reaparece más tarde con el matemático francés J. Fourier (1768-1830). En una memorable sesión de la Academia Francesa de las Ciencias, el día 21 de diciembre de 1807, Fourier presentaba un trabajo que iba a abrir un nuevo capítulo en la historia de la matemática: la creación del Análisis Armónico o, como también se le conoce a partir de sus trabajos, el Análisis de Fourier.     

  

Fourier había deducido una ecuación que describía la conducción del calor a través de los cuerpos sólidos, la ecuación del calor. Pero no sólo la había deducido, sino que había desarrollado un método para resolverla, el método de separación de variables, procedimiento que, en cierto modo, había sido utilizado ya por Bernouilli para su solución, aunque es Fourier quien lo empieza a usar de una manera sistemática en la resolución de Ecuaciones en Derivadas Parciales. La aplicación de la técnica de separación de variables a la ecuación del calor, le condujo a escribir la solución en forma de serie trigonométrica, e incluso llegar a afirmar que cualquier función f(x), periódica de periodo 2π se puede poner como una serie de la forma (2.1). Y, para ello, incluso encontró las fórmulas (de Fourier) que permiten calcular los coeficientes de la serie asociada a la función:     

      

  

Aunque la representación de una función en serie trigonométrica se había considerado antes de Fourier, nadie antes que Fourier puso de manifiesto la correspondencia entre función y coeficientes. Sin embargo, tampoco el trabajo de Fourier fue aceptado a la primera, máxime teniendo como parte del auditorio a matemáticos como J.L. LaGrange (1736-1813), P.S. Laplace (1749-1827) y A.M. Legendre (1752-1833), que criticaron abiertamente la falta de rigor del tratamiento de Fourier. De hecho, Fourier tuvo que rehacer su trabajo ya que su memoria no fue aceptada en un primer momento. No obstante, finalmente sus ideas fueron aceptadas y fueron expuestas, años después, en su obra de 1822, Théorie analytique de la chaleur (La teoría del calor).     

  

Principal Aportacion    

En 1807 comenzó el estudio de la propagación del calor en los sólidos lo que le llevo a usar ampliamente la serie que hoy lleva su nombre. Logró deducir la ecuación diferencial parcial para el calor, llamada simplemente La Ecuación del Calor, denotada por:     

   

     donde:     

     

      

Finalmente en 1822 publicó su famosa Théorie Analytique de la Chaleur (Teoría Analítica Del Calor), la cual se convirtió en su obra cumbre y que en realidad no fue tanto su estudio del calor lo que lo hizo famoso, sino el descubrir un recurso matemático que hoy en día es usado en Electricidad en el Análisis Espectral de una Señal para corriente alterna, y en muchas áreas mas de la ciencia moderna , y que en su época fue rechazado por un grupo conformado por Laplace, Monge, Lagrange y Lacroix “porque no contenía nada nuevo y nada interesante”. Sin embargo, Fourier es uno de los pocos afortunados matemáticos: su nombre ha arraigado en todos los idiomas civilizados como un adjetivo que es bien conocido por los físicos y los matemáticos de todas las partes del mundo.   Fourier, al proponer a la comunidad mundial, su libro usando las series infinitas trigonométricas, significó gran polémica en el ambiente intelectual ya que tuvo una profunda conexión con la evolución del concepto de función. La actitud general en aquel tiempo era llamar función a ƒ(x) si ésta podía representarse mediante una expresión sencilla como un polinomio, una combinación finita de funciones elementales, una serie de potencias:       

   

        

Pero era difícil aceptar que una serie con términos que implicaban formas trigonométricas, las cuales se pensaban divergentes, podía representar a una función ƒ(x), obviamente convergente. Tal fórmula denotó Fourier como:       

   

Si la gráfica de ƒ(x) era arbitraria, por ejemplo, una línea poligonal con varios picos e incluso unos cuantos huecos (puntos de discontinuidad), entonces ƒ(x) no habría sido aceptada como una auténtica función. Fourier proclamó que las gráficas arbitrarias pueden ser representadas por series trigonométricas y deberían por tanto ser tratadas como funciones legítimas, y fue una gran conmoción para muchos que resultara que Fourier estaba en lo cierto. 

   

Análisis armónico      

   

Es la rama de las matemáticas que estudia la representación de funciones o señales como superposición de ondas «básicas», de «base», de las que podemos decir que la función o la señal «se compone». Investiga y generaliza las nociones de Series de Fourier y Transformada de Fourier. Las ondas base se dicen «armónicos», y de ahí el nombre de la disciplina. A lo largo de los siglos siglo XIX y siglo XX se ha convertido en una materia enorme con aplicaciones en campos diversos como el procesamiento de señales, la mecánica cuántica o la neurociencia.  

La transformada clásica de Fourier en Rⁿ aún es un área de investigación activa, sobre todo en la transformación de Fourier sobre objetos más generales, como las distribuciones temperadas. Por ejemplo, si imponemos algunos requerimientos sobre una distribución f, podemos intentar trasladarlos a términos de su transformada de Fourier. El Teorema de Paley-Wiener es un ejemplo de ello, que implica inmediatamente que si f es una distribución (matemáticas) de soporte compacto (lo que incluye a las funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier no tiene nunca el soporte compacto. Esto es un tipo muy elemental de un principio de incertidumbre en términos del análisis armónico.  

Las series de Fourier pueden ser estudiadas convenientemente en el contexto de los Espacios de Hilbert, lo que nos da una conexión entre el análisis armónico y el análisis funcional.        

Una de las ramas más modernas del análisis armónico, que tiene sus raíces a mediados del siglo XX, es el Análisis matemático sobre Grupos topológicos. La ideal central que lo motiva es la de las varias Transformadas de Fourier, que pueden ser generalizadas a una transformación de Función matemática definida sobre compacidad local.  

La teoría para los grupos localmente compactos Grupo abeliano se llama dualidad de Pontryagin, que se considera una proposición muy satisfactoria ya que explica las características envueltas en el análisis armónico. En su página se encuentra desarrollada en detalle.  

El análisis armónico estudia las propiedades de tal dualidad y la transformada de Fourier; y pretende extender tales características a otros marcos, por ejemplo en el del caso del Grupo de Lie no abelianos.  

Para grupos generales no abelianos localmente compactos, el análisis armónico está muy relacionado con la teoría unitaria de representación de grupos unitarios. Para grupos compactos, el Teorema de Peter-Weyl explica cómo se pueden conseguir armónicos extrayendo una representación irreducible de cada clase de equivalencia de representaciones. Esta elección de armónicos goza de algunas de las propiedades útiles de la transformada de Fourier clásica de forma que lleva convoluciones a productos escalares, o por otra parte mostrando cierta comprensión sobre la estructura de grupo subyacente.

 

Bibliografia:

http://www.elprisma.com/apuntes/matematicas/fourierlaplace/default.asp
http://www.tecnun.es/asignaturas/tratamiento%20digital/tema3.pdf
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ezuazua/informweb/cubo.pdf

Cuerpo Rigido en 3D (Cinematica, Cinetica)

 

 Cinematica de cuerpos rigidos en 3D     

  

-Introducción     

En mecanica el movimiento es un fenomeno fisico que se define como todo cambio de posición que experimentan los cuerpos de un sistema, o conjunto, en el espacio con respecto a ellos mismos o con arreglo a otro cuerpo que sirve de referencia.       

Todo cuerpo en movimiento describe una trayectoria. La parte de la fısica que se encarga del estudio del movimiento sin estudiar sus causas es la cinematica. La parte de la fısica que se encarga del estudio de las causas del movimiento es la dinamica.       

Se definio anteriormente al solido rıgido como un sistema de masas puntuales, sometido a las ligaduras holonomas y que la distancia entre los pares de puntos que forman al solido permanecen inalteradas durante el movimiento. Aunque sea una idealizacion de la realidad, el concepto es muy usual y la mecanica del solido rıgido merece atencion.       –

 

-ROTACION

  

La rotación de un cuerpo rigido en donde R (matriz de transformacion) se define a continuacion :

   

 r´= Rr      

Se observa las soluciones son diferentes. Notese tambien que el resultado no es una rotacion alrededor un eje de coordenadas.Observando las matrices representan una rotacion, Como se menciono toda matriz de rotacion cumple la relacion:

 

 

 

Para encontrar la representacion matricial de una rotacion alrededor de un vector arbitrario, se puede usar la conjugacion. Por ejemplo sea ŵ un vector unitario en el plano xz generando un angulo θ con el eje z. Una rotacion de Ф radianes alrededor de este vector puede encontrarse rotando ŵ de manera coincida con el eje z, luego rotar Ф radianes alrededor del eje z y por ultimo rotando el sistema a su posicion inicial definida por w 

 

 

 

 

En 3D resulta que se necesitan tres parametros. Estas imperfectas parametrizaciones aun ası pueden ser utiles. Por ejemplo se puede pensar que una rotacion general en 3D es el producto de tres rotaciones alrededor del eje de coordenadas 

 

 

 

 

  

 

  

 

 

Aparte del hecho esta matriz es muy larga, encontramos el problema que cuando al parametro Фy = π/2  la matriz se convierte en 

 

 

 

 

 

Para la matriz superior encontramos que se encuentra el mismo resultado siempre que θx = θz + c donde c es una constante real. 

 

 

-Derivadas de un vector de traslación y rotación.

 

Consideremos que los ejes x, y, z del marco de referencia móvil tienen una velocidad angular  Ώ que se mide con respecto a los ejes fijos X, Y, Z. En la discusión siguiente, será conveniente expresar el vector A en términos de sus componentes i, j, k que definen las direcciones de los ejes móviles. Por tanto:

 

A=Axi+ Ayj+ Azk

 

 

En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector.
Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto:

(A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

 

-Análisis del movimiento relativo usando ejes de traslación y rotación.

La forma más general de analizar el movimiento espacial de un cuerpo rígido requiere el uso de un sistema de ejes x, y, z que a la vez que se trasladan giran en la en relación a un segundo marco de referencia X,Y,Z.

Este análisis también proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos sobre un mecanismo, que no están localizados sobre el mismo cuerpo rígido, y para determinar el movimiento relativo de una partícula con respecto a otra cuando una o ambas partículas se están moviendo a lo largo de trayectorias que giran.

 

 

Cinetica de cuerpos rigidos en 3D

 

-Momento y producto de inercia 

La cantidad de movimiento angular H_G  de un cuerpo alrededor de su centro masa  G puede determinarse a partir de la velocidad angular  del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

 

Donde  r² y v_i denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula P_i de masa  Δm_i, relativa al sistema de referencia centroidal  G_xyz. Pero v_i= ω x r_i, donde ω es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituirla, se tiene:

-Movimiento angular

Para un cuerpo rigido:

 

Es la sumatoria de la cantidad de movimiento angular de cada elemento de masa del cuerpo rigido.

 

 

-Ecuaciones del movimiento

 

En conjunto la ecuacion de fuerzas y momentos permiten definir completamente el movimiento de una particula, sistema de particulas o cuerpo rigido en 3D.

con base a la mecanica newtoniana:

 

 

 

 

Para un mejor manejo de las variables, la rotacion y traslacion de un cuerpo rigido se encapsulan en una forma matricial. Para el caso de 3D en una matriz de cuatro columnas por cuatro reglones.       

       

 

Se usara la notación estandarizada :  (i,j,k) para representación de vectores unitarios en dirección x, y, z respectivamente.     

      

En 3D cualquier rotacion es alrededor de un eje fijo. Por tanto para una rotacion en 3D se debe especificar el angulo de rotacion Ф  y tambien un vector unitario Û en direccion el eje de rotacion. Para asignar una matriz de rotacion con una dimension de 3x3 se escribe R(Ф,Û) 

 

 

 

 

 

 

El efecto de la transformacion en un punto con coordenadas (x,y,z):

  

 

La anterior muestra el componente z del punto esta siempre fijo, el eje z esta fijo y por tanto es una rotacion en el plano xy  

 De forma similar podemos expresar rotaciones en los ejes yz y zx 

 

 

   

Notar que el signo en los terminos sin (Ф) en la rotacion R (Ф,j)  estan al reves, esto es a causa la rotacion Ф radianes es medida para este caso en dirección de las manecillas del reloj.

Como se menciono anteriormente, el resultado de dos rotaciones, una después de la otra se obtiene usando la multiplicacion matricial, Por tanto las rotaciones en 3D no conmutan es decir el orden como se realicen las transformaciones de rotacion es importante. Para ilustrar la anterior se considera las siguientes rotaciones:

 

 

 

Observemos las dos maneras posibles de combinar las rotaciones en la anterior: 

 

 

 

El siguiente orden de la multiplicacion da como resultado

 

 

 

Mapas Conceptuales

Hola mundo, aqui les dejo unos mapas conceptuales hacerca de los temas que hemos

estado abordando en estos ultimos post.

 

 Movimiento:

 

 

 

 

 

 

 

 

 Leyes de Newton:

 

 

 

 

 

 

 

 

Energia Mecanica:

 

 

 

 

 

 

Gracias salu2.

Presentaciones

Hola mundo,  aquí dejo un link en donde podrás encontrar algunos de estos temas anteriormente descritos, pero en formato de presentación Power Point

Movimiento:

 

Leyes de Newton:

 

Energía:

 

gracias y salu2

Leyes de Newton

 Estas 3 leyes revolucionaron los conceptos básicos de la física y el movimiento de los cuerpos en el universo, también constituyen los cimientos no sólo de la dinámica clásica sino también de la física clásica en general. Newton afirmó que estaban basadas en observaciones y experimentos cuantitativos; ciertamente no pueden derivarse a partir de otras relaciones más básicas. La demostración de su validez radica en sus predicciones… La validez de esas predicciones fue verificada en todos y cada uno de los casos durante más de dos siglos.

Para hacer un refuerzo de estas teorías y hacer ejercicios acerca de ellas, hay un sitio web en el cual encontraras estos temas, también hay experimentos relacionados con los temas.

Los temas son:

         1.-Fuerzas y acciones.

(Este tema habla de cómo los cuerpos interactúan entre si y cómo reaccionan a las fuerzas q se les aplica, también habla del comportamiento con la gravedad)

 

         2.-Leyes de Newton.

(Las ya antes mencionadas y conocidas leyes de Newton, teorías y explicaciones junto con experimentos dinamicos.)

 

         3.-Fuerzas de rozamiento.

(Las dichosas fuerzas que se oponen al movimiento de los cuerpos)

 

         4.-Sistemas no inerciales.

(Estos temas tratan los diferentes puntos de vista en el cual se encuentra un objeto en el espacio y como es afectado por el medio que lo rodea)

 

 

 

Recomiendo empezar las teorías desde la número 1, al término de cada una solo tienes que dar siguiente para avanzar hasta terminar con la número 4.

 Leer con cuidado y a conciencia también es otra de mis recomendaciones, para el refuerzo en cada tema, se recomienda una pequeña visita al laboratorio de cada ejemplo para no solo tener algo de teoría si no también ponerla en práctica, y que mejor que con ejemplos dinámicos.

Como una pequeña introducción de lo que hay ahí. Cada tema aborda su teoría, cómo afectan, como se miden, tipos de…etc. En los cada tema hay ejemplos, explicaciones de cómo y cuando existen las fuerzas etc.

Esta página web es muy interactiva y altamente recomendable la visita de ella para el aprendizaje o refuerzo de lo ya establecido en los temas de física apartado de dinámica.

Al finalizar, comprueba tu aprendizaje entrando, aplicándote una autoevaluación, vamos es divertida y si seguiste las recomendaciones de leer con calma detenidamente y a conciencia entonces serás capaz de obtener un merecido y esplendoroso 100!!…

La página es:

http://www.ite.educacion.es/pamc/pamc_2007/dinamica_leyes_newton/

Para terminar y en conclusión de todo, puedo afirmar que esta página es un muy buen método de aprendizaje y enseñanza para todas las personas, en lo personal yo logre entender y reforzar muchos de mis conocimientos, gracias a los ejemplos y a los laboratorios q nos ayudan a entender el cómo funcionan y reaccionan las cosas.

 

 

Nombre: José Emmanuel Tadeo Robledo                       Reg: 9110248

Curso: Dinámica      Profesor: Cesar Octavio Martinez Padilla       

Modulo: 2º Parcial, 2ºSemestre             Actividad: Comentario.          fecha: 07/10/09

Mapas Conceptuales

Mapa conceptual

Da click en el link anterior.

Leyes de la dinámica

Una fuerza aplicada a un cuerpo, produce un movimiento, siendo la principal razón del movimiento de los planetas en el espacio. Cada cuerpo en el espacio pose una fuerza que en interacción con los demás cuerpos, produce una atracción entre ellos, a la cual conocemos como fuerza gravitacional.

También existen otros tipos de fuerzas, como son: fuerzas de contacto, fuerza de acción y distancia, fuerza de fricción o rozamiento, la fuerza normal.

En cuestión a los movimientos y las fuerzas, la dinámica es quien se encarga de estudiar, analizar y comprender las aplicaciones de dichos temas.

 

Fuerza

La fuerza no es más que un agente externo capaz de cambiar el estado de un cuerpo, ya sea q este en reposo o en movimiento.

Las fuerzas se representan con vectores (segmento orientado), para los cuales es necesario especificar 3 cosas:

         1.-Magnitud.

         2.-Respecto de qué punto se aplica.

         3.-La dirección en que se aplica.

 

Cuando 2 cuerpos interactúan entre si, se producen 2 fuerzas, las cuales pueden ser iguales o pueden ser opuestas.

Los efectos producidos por una fuerza son:

         1.-Deformacion de un cuerpo.

         2.-La variación de la velocidad.

         3.-La variación de la dirección de la velocidad.

 

La deformación puede ser aplicada en un resorte al momento en que se aplica una fuerza. La variación de la velocidad depende en que posición este aplicada la fuerza con respecto del cuerpo, si dicha fuerza esta aplicada en dirección a la velocidad del objeto, esta aumentara, en caso contrario disminuye. La variación de la dirección también dependerá del punto en el que este situada la fuerza, dicho en otras palabras, si la fuerza es perpendicular a la velocidad, solo afectara la dirección, y cualquier otro caso afectara tanto la dirección como la velocidad de ese cuerpo.

 

Para sumar vectores es necesario primero separarlo en sus componentes y sumarlos como vectores, y para restarlos es necesario cambiar de dirección uno para hacer que cambie de dirección para después restarlo.

 

Las leyes de newton son:

1.- La 1ª ley de newton

   Habla de la inercia, la cual menciona que todo cuerpo mantendrá su estado a no ser q una fuerza externa actué sobre él, así mismo este cuerpo puede haber estado en movimiento o simplemente en reposo.

 

2.- La 2ª ley de newton

   Dice que si existe una fuerza resultante distinta de cero el cuerpo se mueve y su velocidad va aumentando mientras la fuerza se mantenga aplicada. Cuanto más tiempo actúe, más se incrementa la velocidad.

Siendo su formula  F = m a

 

3.- La 3ª ley de newton

   Menciona que a toda acción existe una reacción de igual magnitud pero en sentido contrario. Siempre que dos cuerpos interaccionan entre si, la fuerza que ejerce la primera sobre la segunda es igual y opuesta a la fuerza que la segunda aplica sobre la primera.

 

Este documento es una pequeña introducción a lo referente a las leyes de la dinámica, pero si te interesa saber más de este interesante tema, te invito a visitar:

http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/dinamica/

aquí encontraras todo lo relacionado al tema, así como también muchos ejemplos dinámicos q te ayudaran a comprender mejor, también hay ejercicios los cuales recomiendo analizar para la comprensión del tema, y por ultimo una auto evaluación que consta de 4 etapas, la 1º es un conjunto de conceptos los cuales tendrás que relacionar, la 2º y 3º son frases que tienes que completar, y por ultimo una serie de 16 preguntas relacionadas con todos los temas.