Series de Fourier

   

Jean Baptiste Joseph Fourier     

  

La chaleur penetre, comme la gravite, toutes les substances del ‘univers, ses rayons occupent toutes les parties de l’espace. Le but de notre ouvrage est d’exposer les lois mathematiques que suit cet element. Cette theorie formera desormais une des branches importantes de la physique generale.     Que significa:     

El calor penetra, como la gravedad, todas las sustancias del universo, sus rayos ocupan todas las partes del espacio. El objetivo de nuestro trabajo es presentar las leyes matemáticas que sigue a este elemento. Esta teoría constituye ahora una rama importante de la física en general.       

Hechos historicos     

A mediados del siglo XVIII, Bernouilli llega al punto de plantearse la solución del problema de la cuerda vibrante en forma de serie trigonométrica a partir de consideraciones de tipo físico, que le llevan a pensar que la cuerda oscila involucrando varias frecuencias al mismo tiempo, cuyas amplitudes respectivas dependen de la forma inicial de la vibración, es decir, del modo en que se haya empezado a mover la cuerda. Esta posibilidad, descubierta por Bernouilli, es lo que hoy llamamos principio de superposición y ha resultado ser un principio de gran importancia en muchas ramas de la Física matemática.     

Sin embargo, Euler entiende que esta idea de Bernouilli lleva a un resultado aparentemente paradójico, de acuerdo con algunos conceptos matemáticos de su tiempo. A saber, el hecho de que una función “arbitraria” pueda ser expresada en forma de serie trigonométrica. Hay que tener en cuenta, que para los matemáticos contemporáneos de Euler, las curvas se dividían en dos clases: curvas “continuas 2 curvas “geométricas”. En contraste con la terminóloga adoptada hoy en día, una curva se decía “continua” si sus ordenadas y sus abscisas podían conectarse mediante alguna fórmula     

 y= f(x).      

Por otra parte una curva se denominaba “geométrica” si podía dibujarse de alguna forma con trazos continuos o discontinuos. Pensaban por tanto, que la segunda categoría de curvas era más amplia que la primera, ya que lo que nosotros denominamos como una función continua a trozos, puede dibujarse, pero no puede expresarse si no es con varias fórmulas. Así, si una función “arbitraria” podía expresarse, por ejemplo, como una serie de senos, pero con ak = 0 para k = 0, 1, 2,…, esto significaría que cualquier curva “geométrica” seria también una curva “continua”, lo cual, para Euler y sus contemporáneos, era simplemente increíble.    Por otra parte, para contribuir más aún a este debate, la solución al problema de la cuerda vibrante de Bernouilli compite con otra aportada por J.R. d’Alembert (1717-1783) en forma de una onda que avanza y otra que retrocede, que se determinan a partir de la posición y velocidad iniciales de la cuerda. En particular, d’Alembert consideraba que la manera más natural de hacer que una cuerda empezase a vibrar era desplazarla de su posición de equilibrio tirando de algún punto de ella. Esto hace que su posición inicial se pueda representar mediante dos rectas que forman un determinado ángulo. Para d’Alembert la naturaleza de esta curva hacía imposible pensar en que pudiese expresarse como una serie trigonométrica, ya que se trata, como se ha comentado más arriba, de una curva “geométrica”, mientras que la serie trigonométrica seria una curva “continua”.     

 El problema de si una función cualquiera puede representarse mediante una serie trigonométrica reaparece más tarde con el matemático francés J. Fourier (1768-1830). En una memorable sesión de la Academia Francesa de las Ciencias, el día 21 de diciembre de 1807, Fourier presentaba un trabajo que iba a abrir un nuevo capítulo en la historia de la matemática: la creación del Análisis Armónico o, como también se le conoce a partir de sus trabajos, el Análisis de Fourier.     

  

Fourier había deducido una ecuación que describía la conducción del calor a través de los cuerpos sólidos, la ecuación del calor. Pero no sólo la había deducido, sino que había desarrollado un método para resolverla, el método de separación de variables, procedimiento que, en cierto modo, había sido utilizado ya por Bernouilli para su solución, aunque es Fourier quien lo empieza a usar de una manera sistemática en la resolución de Ecuaciones en Derivadas Parciales. La aplicación de la técnica de separación de variables a la ecuación del calor, le condujo a escribir la solución en forma de serie trigonométrica, e incluso llegar a afirmar que cualquier función f(x), periódica de periodo 2π se puede poner como una serie de la forma (2.1). Y, para ello, incluso encontró las fórmulas (de Fourier) que permiten calcular los coeficientes de la serie asociada a la función:     

      

  

Aunque la representación de una función en serie trigonométrica se había considerado antes de Fourier, nadie antes que Fourier puso de manifiesto la correspondencia entre función y coeficientes. Sin embargo, tampoco el trabajo de Fourier fue aceptado a la primera, máxime teniendo como parte del auditorio a matemáticos como J.L. LaGrange (1736-1813), P.S. Laplace (1749-1827) y A.M. Legendre (1752-1833), que criticaron abiertamente la falta de rigor del tratamiento de Fourier. De hecho, Fourier tuvo que rehacer su trabajo ya que su memoria no fue aceptada en un primer momento. No obstante, finalmente sus ideas fueron aceptadas y fueron expuestas, años después, en su obra de 1822, Théorie analytique de la chaleur (La teoría del calor).     

  

Principal Aportacion    

En 1807 comenzó el estudio de la propagación del calor en los sólidos lo que le llevo a usar ampliamente la serie que hoy lleva su nombre. Logró deducir la ecuación diferencial parcial para el calor, llamada simplemente La Ecuación del Calor, denotada por:     

   

     donde:     

     

      

Finalmente en 1822 publicó su famosa Théorie Analytique de la Chaleur (Teoría Analítica Del Calor), la cual se convirtió en su obra cumbre y que en realidad no fue tanto su estudio del calor lo que lo hizo famoso, sino el descubrir un recurso matemático que hoy en día es usado en Electricidad en el Análisis Espectral de una Señal para corriente alterna, y en muchas áreas mas de la ciencia moderna , y que en su época fue rechazado por un grupo conformado por Laplace, Monge, Lagrange y Lacroix “porque no contenía nada nuevo y nada interesante”. Sin embargo, Fourier es uno de los pocos afortunados matemáticos: su nombre ha arraigado en todos los idiomas civilizados como un adjetivo que es bien conocido por los físicos y los matemáticos de todas las partes del mundo.   Fourier, al proponer a la comunidad mundial, su libro usando las series infinitas trigonométricas, significó gran polémica en el ambiente intelectual ya que tuvo una profunda conexión con la evolución del concepto de función. La actitud general en aquel tiempo era llamar función a ƒ(x) si ésta podía representarse mediante una expresión sencilla como un polinomio, una combinación finita de funciones elementales, una serie de potencias:       

   

        

Pero era difícil aceptar que una serie con términos que implicaban formas trigonométricas, las cuales se pensaban divergentes, podía representar a una función ƒ(x), obviamente convergente. Tal fórmula denotó Fourier como:       

   

Si la gráfica de ƒ(x) era arbitraria, por ejemplo, una línea poligonal con varios picos e incluso unos cuantos huecos (puntos de discontinuidad), entonces ƒ(x) no habría sido aceptada como una auténtica función. Fourier proclamó que las gráficas arbitrarias pueden ser representadas por series trigonométricas y deberían por tanto ser tratadas como funciones legítimas, y fue una gran conmoción para muchos que resultara que Fourier estaba en lo cierto. 

   

Análisis armónico      

   

Es la rama de las matemáticas que estudia la representación de funciones o señales como superposición de ondas «básicas», de «base», de las que podemos decir que la función o la señal «se compone». Investiga y generaliza las nociones de Series de Fourier y Transformada de Fourier. Las ondas base se dicen «armónicos», y de ahí el nombre de la disciplina. A lo largo de los siglos siglo XIX y siglo XX se ha convertido en una materia enorme con aplicaciones en campos diversos como el procesamiento de señales, la mecánica cuántica o la neurociencia.  

La transformada clásica de Fourier en Rⁿ aún es un área de investigación activa, sobre todo en la transformación de Fourier sobre objetos más generales, como las distribuciones temperadas. Por ejemplo, si imponemos algunos requerimientos sobre una distribución f, podemos intentar trasladarlos a términos de su transformada de Fourier. El Teorema de Paley-Wiener es un ejemplo de ello, que implica inmediatamente que si f es una distribución (matemáticas) de soporte compacto (lo que incluye a las funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier no tiene nunca el soporte compacto. Esto es un tipo muy elemental de un principio de incertidumbre en términos del análisis armónico.  

Las series de Fourier pueden ser estudiadas convenientemente en el contexto de los Espacios de Hilbert, lo que nos da una conexión entre el análisis armónico y el análisis funcional.        

Una de las ramas más modernas del análisis armónico, que tiene sus raíces a mediados del siglo XX, es el Análisis matemático sobre Grupos topológicos. La ideal central que lo motiva es la de las varias Transformadas de Fourier, que pueden ser generalizadas a una transformación de Función matemática definida sobre compacidad local.  

La teoría para los grupos localmente compactos Grupo abeliano se llama dualidad de Pontryagin, que se considera una proposición muy satisfactoria ya que explica las características envueltas en el análisis armónico. En su página se encuentra desarrollada en detalle.  

El análisis armónico estudia las propiedades de tal dualidad y la transformada de Fourier; y pretende extender tales características a otros marcos, por ejemplo en el del caso del Grupo de Lie no abelianos.  

Para grupos generales no abelianos localmente compactos, el análisis armónico está muy relacionado con la teoría unitaria de representación de grupos unitarios. Para grupos compactos, el Teorema de Peter-Weyl explica cómo se pueden conseguir armónicos extrayendo una representación irreducible de cada clase de equivalencia de representaciones. Esta elección de armónicos goza de algunas de las propiedades útiles de la transformada de Fourier clásica de forma que lleva convoluciones a productos escalares, o por otra parte mostrando cierta comprensión sobre la estructura de grupo subyacente.

 

Bibliografia:

http://www.elprisma.com/apuntes/matematicas/fourierlaplace/default.asp
http://www.tecnun.es/asignaturas/tratamiento%20digital/tema3.pdf
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ezuazua/informweb/cubo.pdf