Cuerpo Rigido en 3D (Cinematica, Cinetica)

Cinematica de cuerpos rigidos en 3D

-Introducción

En mecanica el movimiento es un fenomeno fisico que se define como todo cambio de posición que experimentan los cuerpos de un sistema, o conjunto, en el espacio con respecto a ellos mismos o con arreglo a otro cuerpo que sirve de referencia.

Todo cuerpo en movimiento describe una trayectoria. La parte de la fısica que se encarga del estudio del movimiento sin estudiar sus causas es la cinematica. La parte de la fısica que se encarga del estudio de las causas del movimiento es la dinamica.

Se definio anteriormente al solido rıgido como un sistema de masas puntuales, sometido a las ligaduras holonomas y que la distancia entre los pares de puntos que forman al solido permanecen inalteradas durante el movimiento. Aunque sea una idealizacion de la realidad, el concepto es muy usual y la mecanica del solido rıgido merece atencion. –

-ROTACION

La rotación de un cuerpo rigido en donde R (matriz de transformacion) se define a continuacion :

r´= Rr

Se observa las soluciones son diferentes. Notese tambien que el resultado no es una rotacion alrededor un eje de coordenadas.Observando las matrices representan una rotacion, Como se menciono toda matriz de rotacion cumple la relacion:

Para encontrar la representacion matricial de una rotacion alrededor de un vector arbitrario, se puede usar la conjugacion. Por ejemplo sea ŵ un vector unitario en el plano xz generando un angulo θ con el eje z. Una rotacion de Ф radianes alrededor de este vector puede encontrarse rotando ŵ de manera coincida con el eje z, luego rotar Ф radianes alrededor del eje z y por ultimo rotando el sistema a su posicion inicial definida por w

En 3D resulta que se necesitan tres parametros. Estas imperfectas parametrizaciones aun ası pueden ser utiles. Por ejemplo se puede pensar que una rotacion general en 3D es el producto de tres rotaciones alrededor del eje de coordenadas

Aparte del hecho esta matriz es muy larga, encontramos el problema que cuando al parametro Фy = π/2 la matriz se convierte en

Para la matriz superior encontramos que se encuentra el mismo resultado siempre que θx = θz + c donde c es una constante real.

-Derivadas de un vector de traslación y rotación.

Consideremos que los ejes x, y, z del marco de referencia móvil tienen una velocidad angular Ώ que se mide con respecto a los ejes fijos X, Y, Z. En la discusión siguiente, será conveniente expresar el vector A en términos de sus componentes i, j, k que definen las direcciones de los ejes móviles. Por tanto:

A=Axi+ Ayj+ Azk

En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector.
Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto:

(A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

-Análisis del movimiento relativo usando ejes de traslación y rotación.

La forma más general de analizar el movimiento espacial de un cuerpo rígido requiere el uso de un sistema de ejes x, y, z que a la vez que se trasladan giran en la en relación a un segundo marco de referencia X,Y,Z.

Este análisis también proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos sobre un mecanismo, que no están localizados sobre el mismo cuerpo rígido, y para determinar el movimiento relativo de una partícula con respecto a otra cuando una o ambas partículas se están moviendo a lo largo de trayectorias que giran.

Cinetica de cuerpos rigidos en 3D

-Momento y producto de inercia

La cantidad de movimiento angular H_G de un cuerpo alrededor de su centro masa G puede determinarse a partir de la velocidad angular del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

Donde r² y v_i denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula P_i de masa Δm_i, relativa al sistema de referencia centroidal G_xyz. Pero v_i= ω x r_i, donde ω es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituirla, se tiene:

-Movimiento angular

Para un cuerpo rigido:

Es la sumatoria de la cantidad de movimiento angular de cada elemento de masa del cuerpo rigido.

-Ecuaciones del movimiento

En conjunto la ecuacion de fuerzas y momentos permiten definir completamente el movimiento de una particula, sistema de particulas o cuerpo rigido en 3D.

con base a la mecanica newtoniana:

Para un mejor manejo de las variables, la rotacion y traslacion de un cuerpo rigido se encapsulan en una forma matricial. Para el caso de 3D en una matriz de cuatro columnas por cuatro reglones.

Se usara la notación estandarizada : (i,j,k) para representación de vectores unitarios en dirección x, y, z respectivamente.

En 3D cualquier rotacion es alrededor de un eje fijo. Por tanto para una rotacion en 3D se debe especificar el angulo de rotacion Ф y tambien un vector unitario Û en direccion el eje de rotacion. Para asignar una matriz de rotacion con una dimension de 3x3 se escribe R(Ф,Û)

El efecto de la transformacion en un punto con coordenadas (x,y,z):

La anterior muestra el componente z del punto esta siempre fijo, el eje z esta fijo y por tanto es una rotacion en el plano xy

De forma similar podemos expresar rotaciones en los ejes yz y zx

Notar que el signo en los terminos sin (Ф) en la rotacion R (Ф,j) estan al reves, esto es a causa la rotacion Ф radianes es medida para este caso en dirección de las manecillas del reloj.

Como se menciono anteriormente, el resultado de dos rotaciones, una después de la otra se obtiene usando la multiplicacion matricial, Por tanto las rotaciones en 3D no conmutan es decir el orden como se realicen las transformaciones de rotacion es importante. Para ilustrar la anterior se considera las siguientes rotaciones: